二次函数的单调性

二次函数在数学和科学领域中都有广泛的应用，例如物理学中的自由落体运动、经济学中的成本和利润函数等。二次函数在坐标轴上的截距分别为 c 和 (0, c)。当 a>0 时x，函数在趋近于正无穷；当 a<0 时，函数时趋近于负无穷。

二次函数的单调性

单调性是指函数在某个区间内的增减性质。具体来说，如果函数在某个区间内单调递增，则随着自变量的增加，函数的取值也会增加；如果函数在某个区间内单调递减，则随着自变量的增加，函数的取值会减少。

更形式化地说，如果对于区间 I 中的任意 x_1 和 x_2，当 x_1<x_2 时有 f(x_1) < f(x_2)，则函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增的；如果当 x_1<x_2 时有 f(x_1) ＞ f(x_2)，则函数 f(x) 在区间 I 上是单调递减的。

函数的单调区间怎么求

1、求导法：导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点。

首先根据函数图象的特点得出定义的图象语言表述，如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右上升，则函数是增函数；如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右下降，则函数是减函数。

2、定义法：设x1、x2，算出(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)，大于0就是递增，小于0递减。

其次给出函数的相应的性质定义的文字语言表述，如果在某个区间里y随着x的增大而增大，则称y是该区间上的增函数，该区间称为该函数的递增区间；如果在某个区间里y随着x的增大而减小，则称y是该区间上的减函数，该区间称为该函数的递减区间。

二次函数的图像开口、顶点

1、图像开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

2、顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）

函数单调性与单调区间例题解析

1、讨论y=e^x-x-3的单调性。

解：y=e^x-x-3,则y=e^x-1.

令y=0，则x=0.判断导数的符号为：

(1)当x≥0时，y≥0，此时函数为增函数，

函数的增区间为[0,+∞）；

(2)当x＜0时，y＜0，此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞，0)。

2、讨论函数f(x)=3x^3-5x^2+1的单调性。

解：y=3x^3-5x^2+1,

y=9x^2-10x=x(9x-10).

令y=0，即x1=0,x2=10/9，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[10/9,+∞）时，y≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，10/9)时，y＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。