三角函数反函数求导公式

三角函数反函数求导公式有：(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(tanx)'=sec²x=1+tan²x；(cotx)'=-csc²x；(secx)'=tanx·secx；(cscx)'=-cotx·cscx；(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x等等。

三角函数反函数求导公式

一、反正弦函数的求导公式

对于反正弦函数y = arcsin(x)，其导数为：dy/dx = 1/√(1-x²)。

二、反余弦函数的求导公式

对于反余弦函数y = arccos(x)，其导数为：dy/dx = -1/√(1-x²)。

三、反正切函数的求导公式

对于反正切函数y = arctan(x)，其导数为：dy/dx = 1/(1+x²)。

四、反余切函数的求导公式

对于反余切函数y = arccot(x)，其导数为：dy/dx = -1/(1+x²)。

五、反正割函数的求导公式

对于反正割函数y = arcsec(x)，其导数为：dy/dx = 1/(|x|√(x²-1))。

六、反余割函数的求导公式

对于反余割函数y = arccsc(x)，其导数为：dy/dx = -1/(|x|√(x²-1))。

反函数的重要性质

1、原函数和反函数的定义域和值域互换。即原函数 f(x) 的定义域是反函数 g(x) 的值域，反之亦然。

2、原函数和反函数的图像关于直线 y = x 对称。这意味着通过绘制原函数和反函数的图像，我们可以轻松地找到它们之间的关系。

3、原函数和反函数的导数互为倒数。也就是说，如果原函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，那么反函数 g(x) 在相应的点 y0（即 f(x0)） 处也可导，并且有 g'(x0) = 1/f'(x0)。

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。