复数的所有公式和性质

复数是数学中的一个重要概念，它们由实部和虚部组成，可以进行加法、减法、乘法和除法运算。一般情况下，复数记作"a+bi"，其中"a"是实部，"b"是虚部，而"i"是虚数单位，它满足以下关系：i²=-1。

复数的所有公式和性质

(1)加法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

(2)乘法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

(3)除法运算

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

性质：在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。

复数模常用结论

1、复数的模等于实部的平方加上虚部的平方的平方根。

2、两个复数的和的模小于等于这两个复数的模的和。

3、两个复数的差的模小于等于这两个复数的模的差。

4、两个复数的积的模等于这两个复数的模的积。

5、一个复数的倒数的模等于这个复数的模的倒数。

6、两个复数的商的模等于这两个复数的模的商。

7、两个复数的和与差的模的平方之和等于这两个复数的模的平方之和的两倍。

8、一个复数的模的平方等于这个复数和它的共轭复数的积。

9、两个复数的积等于它们的模的积乘以它们的幅角的和。

10、一个复数的n次方等于这个复数的模的n次方乘以它的幅角的n倍。

复数模的计算方法

（1）利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题；

（2）考虑复数的几何意义，转化为复平面上的几何问题；

（3）化为实数范围内的最值问题，或利用基本不等式；

（4）转化为函数的最值问题。