虚数的概念及分类

虚数是指实数以外的复数，其中实部为0的虚数称为纯虚数。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i²=-1。

虚数的概念及分类

概念：虚数是指有虚部和实部构成，数学上也被称为复数的一类。它的定义是：实部是实数（即底满足可加性，可乘性和可比性的量），虚部是负的根号二（即虚数的平方值等于负真数）。由此推断可得，虚数是数学中一类综合性数且无法表示为实数的特殊数字。

虚数的引入扩大了数的概念，并为复数理论奠定了基础。复数是由实数和虚数组合而成的数，其一般形式为`z=a+bi`，其中`a`是实部分，而`b`是虚部分。当虚部为零时，复数变为实数；当实部为零时，复数变为虚数。复数集合通常用字母`C`来表示。

分类：虚数可以分为两类：纯虚数和实虚数。

1、纯虚数是指那些不能通过平方得到的有理数（即非零的整数或分数）的平方根。这些数通常用符号`√α`表示，其中`α`是实数。例如，`√2`和`√(-5)`都属于纯虚数。

2、实虚数则是可以通过平方得到的有理数的平方根。它们与纯虚数不同，可以通过平方得到对应的实数。实虚数可以是正数也可以是负数，但它们的平方总是等于某个实数。

复数的概念和条件

复数一般用“z”表示，复数z的一般形式是“z=a+bi”（a、b∈R，并且a≠0、b≠0，下同）。

1、当虚部b=0时，复数z=a∈R，此时“z”属于复数中的实数。即，复数z=a+bi为实数的充要条件是“b=0”。

2、当虚部b≠0时，复数z具有形式“a+bi”，此时不管实部a是否为0，复数z都属于复数中的虚数。即，复数z=a+bi为虚数的充要条件是“b≠0”。

实数的概念

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。