一次函数的定义和性质

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。那么，一次函数的性质有哪些呢？

一次函数的定义和性质

定义：一次函数也叫线性函数，是指函数的最高次幂只能为1的函数。一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b为实数，且k≠0。其中，k称为函数的斜率，代表函数图像的倾斜程度；b称为函数的截距，代表函数图像与y轴的交点。

性质：

1、斜率

一次函数的斜率k可以用来描述函数图像的增长趋势。斜率k为正数时，表示函数图像从左向右上升；斜率k为负数时，表示函数图像从左向右下降；斜率k为0时，表示函数图像为水平线。

2、截距

一次函数的截距b表示函数图像与y轴的交点，即当x=0时，函数的值为b。截距对于函数图像的位置和平移起到重要作用。当b>0时，函数图像与y轴正向平移；当b<0时，函数图像与y轴负向平移。

3、函数图像

一次函数的图像为一条直线。根据斜率k的大小，可以判断函数图像的倾斜程度。当k>1时，函数图像向上倾斜的程度较大；当0<k<1时，函数图像向上倾斜的程度较小；当k<0时，函数图像向下倾斜。

4、定义域和值域

一次函数的定义域为全体实数集R，即函数适用于所有实数。而值域则依赖于斜率k的正负性质。当k>0时，函数的值域为全体实数集R；当k<0时，函数的值域为负实数集R-。

一次函数的斜率公式

一次函数的斜率公式为：k=tanα=（y2-y1）/（x2-x1），斜率亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度，一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值，即该直线相对于该坐标系的斜率。

如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像（直线）的斜率。

一次函数应用常用公式

1、求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）。

2、求与x轴平行线段的中点：（x1+x2）/2。

3、求与y轴平行线段的中点：（y1+y2）/2。

4、求任意线段的长：√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]。

5、求两个一次函数式图像交点坐标：

解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1；y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1；y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0。则（x0，y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标。