排列数与组合数的性质

组合数和排列数是数学中两个重要的概念，它们在计数问题中有着广泛的应用。虽然它们看起来很相似，但性质确实完全不同。下面我们就来看看，排列数与组合数的性质分别是什么？

排列数与组合数的性质

排列数的性质：

1、排列是离散的：排列中只包含有限个元素，即从 1 到 n 的整数。

2、排列是有序的：对于任意的排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的。即 P = {1, 2, 3, …， n}。

3、排列是可逆的：如果一个排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的，那么 P 可以逆置为另一个排列 P',其中元素 1 到 n 是有序的。逆置操作可以通过交换元素 1 和 n 来实现。

4、排列是等可能的：对于任意的排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的，P 中的每个元素都可能是排列 P 中的第一个元素。

5、排列是循环的：如果一个排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的，那么 P 中的每个元素都可能是排列 P 中的最后一个元素。换句话说，排列 P 是一个循环排列。

6、排列是单调的：对于任意的排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的，P 中的每个元素都满足 P 中相邻元素的相对顺序。

7、排列是可重复的：如果一个排列 P,其中元素 1 到 n 是有序的，那么 P 中的每个元素都可以重复出现多次。

组合数的性质：

1、互补性质

即从n个不同元素中取出m个元素的组合数＝从n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数。例如C（9，2）=C（9，7），即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。规定：C（n，0）=1 C（n，n）=1 C（0，0）=1。

2、组合恒等式

若表示在n个物品中选取m个物品，则如存在下述公式：C（n，m）=C（n，n-m）=C（n-1，m-1）+C（n-1，m）。

组合数与排列数有什么区别

首先，从定义上来看，组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的组合数，而排列数则是指从n个不同元素中取出m个元素并按照一定的顺序排列的所有可能的排列数。换句话说，组合数关注的是元素的选择，而排列数关注的是元素的顺序。

其次，从计算公式上来看，组合数和排列数的计算公式也有所不同。组合数的计算公式为C（n,m）=n!/[m!（n-m）！]，其中n!表示n的阶乘，即n*（n-1）*（n-2）*…*3*2*1；而排列数的计算公式为P（n,m）=n!/（n-m）！，其中n!同样表示n的阶乘。可以看出，组合数的分母是m!（n-m）！，而排列数的分母是（n-m）！。

此外，组合数和排列数的性质也有所不同。例如，对于相同的n和m，组合数总是大于或等于排列数。这是因为在组合问题中，元素的顺序并不重要，而在排列问题中，元素的顺序是非常重要的。因此，当我们考虑相同的元素时，排列的可能性总是小于组合的可能性。

最后，从应用角度来看，组合数和排列数在解决实际问题时也有着不同的应用。例如，在概率论中，组合数常常用于计算事件的组合可能性；而在统计学中，排列数则常常用于计算样本空间中的样本点的数量。

排列数怎么求

排列数 A（n,m） 即字母A右下角n 右上角m, 表示n取m的排列数。

A（n,m）=n!/（n-m）！=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）；

A（n,m）等于从n 开始连续递减的 m 个自然数的积；

组合数 C（n,m） 即 字母C右下角n 右上角m, 表示n取m的排列数；

C（n,m）=n!/（m!*（n-m）！）=n*（n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）/（1*2*3*……*m）；

C（n,m）等于（从n 开始连续递减的 m 个自然数的积）除以（从1开始连续递增的 m 个自然数的积）。